MATEMATIČARKA doc. dr. sc. Franka Miriam Brueckler sa zagrebačkog PMF-a već godinama radi na popularizaciji znanosti, a jedna od najdražih tema joj je matematička (ne)predvidivost nogometa. Već je pogodila ishode pojedinih utakmica i uočila određene zanimljivosti ovog SP-a, a sada predviđa moguće ishode i rezultate utakmice Hrvatska - Engleska. Istovremeno tumači kako se rade predviđanja i čemu služe. Evo što kaže u svojem novom osvrtu..

U prethodnim člancima na temu matematike i nogometa (poveznice dolje) opisali smo neke osnovne metode kojima se dolazi do procjena vjerojatnosti ishoda nogometnih utakmica. Što te metode kazuju za predstojeću utakmicu Hrvatske i Engleske?

Hrvatsko-engleska kombinatorika i vjerojatnost

Zasigurno ste tijekom praćenja utakmica primijetili kako komentatori često koriste izraz “kombinatorika”. No, gotovo nikad ga ne koriste u stvarnom značenju, već u značenju “dobrog kombiniranja poteza”. Zapravo je izraz “kombinatorika” naziv jedne matematičke discipline, koja čak stvarno ima veze (ne samo) s nogometom.

Što bi bila prava nogometna kombinatorika? Evo primjera. Svatko zna da na utakmici može pasti 0, 1, 2, ... golova. U pravom smislu kombinatorno pitanje je: Na koliko načina je moguće utakmicu završiti s određenim brojem golova.

Utakmica s 0 golova očito ima samo jedan mogući rezultat: 0:0. Utakmica s jednim golom može završiti s 1:0 ili pak s 0:1, dakle na 2 načina. Utakmica s dva gola može završiti s 2:0, 1:1 (u dva moguća redoslijeda davanja golova) ili pak s 0:2. Utakmica s tri može završiti s 3:0, 2:1, 1:2 (posljednja dva rezultata mogu se postići s tri različita redoslijeda davanja golova) ili pak s 0:3. Sami nastavite dalje.

Ovakvo tabeliranje mogućnosti, a još više: efikasne metode da ih se prebroji, spadaju u kombinatoriku u njenom stvarnom matematičkom smislu. A bez nje ništa od vjerojatnosti: klasično se vjerojatnost definira kao broj povoljnih rezultata (povoljnih za ono za što računamo vjerojatnost) podijeljen s brojem svih mogućih ishoda. Kombinatorika je ono što nam kaže kako dobiti brojeve povoljnih i svih mogućih slučajeva. 
Okrenimo se sad predstojećem polufinalu s Engleskom.

Na ovom su prvenstvu u prethodnih 5 utakmica Englezi od ukupno 68 udaraca dali 11 golova, a mi njih 10 od 77 udaraca (uzeti su u obzir produžeci, ali ne i jedanaesterci, razumije se). Sličan odnos dobili bismo i ako bismo gledali nešto više unatrag. Trenutni ELO-rating Engleza je 1984, a naš 1939 (FIFA-rating: Engleska 1051, mi 945). Vidimo: po svim spomenutim parametrima (a i po mnogim drugima), Engleska je nešto bolja od Hrvatske, ali ne upadno. Odnosno, i bez računa vidimo da, iako je Engleska lagani favorit, vrlo su mogući i produžeci i pobjeda Hrvatske. 

Ova je situacija idealna da i matematički potvrdimo nešto što iz iskustva mnogi znaju: Nogomet je posebno uzbudljiv jer je izrazito nepredvidljiv, odnosno, u nogometu je za usporedbu s drugim srodnim sportovima bitno češći slučaj da favorit ne pobijedi.

Umjesto računa (koji se temelji upravo na gornjoj kombinatorici i navedenim podacima), rezultat dajemo grafički: Naš dijagram prikazuje vjerojatnosti da Hrvatska (“slabiji” tim) ne izgubi utakmicu za koju bismo unaprijed znali broj golova će na njoj pasti (0, 1, 2, ...). Prije nego tko zacvili “pa ne znamo koliko će golova pasti, baš ste vi matematičari biseri”, strpite se još samo par redova.

Vjerojatnost da Hrvatska ne izgubi na utakmici s 0 golova je naravno 100% (jer je jedini mogući rezultat neodlučen), no zanimljivije je pogledati dalje: Na utakmici s 2 gola vjerojatnije je da Hrvatska ne izgubi nego na utakmici s 1 golom, a isto tako kad usporedimo utakmice s 4 i 3 gola ili one sa 6 i 5. To je zato što utakmice s parnim brojem golova imaju mogućnost neodlučenog rezultata, a on također znači da “slabiji” nije izgubio.

No, sigurno primjećujete još nešto: što je veći broj golova na utakmici, vjerojatnost “slabijeg” da se izvuče ipak se smanjuje. I to je pokazatelj zašto je nogomet toliko nepredvidljiv: dok na nogometnim utakmicama pada tek po nekoliko golova, rijetko više od 6, te – kako je vidljivo sa slike – vjerojatnosti još uvijek ostaju nezanemarive, da smo gornji graf crtali za rukometne ili košarkaške utakmice na kojima su brojevi pogodak bitno veći, vjerojatnosti da “slabija” momčad ne izgubi postat će zanemarive – visine stupaca na dijagramu postat će gotovo nevidljive.

Eto, sad znate i zašto se događa ono što znamo – česta iznenađenja u nogometu. Ili, drugačije rečeno, upravo smo “dokazali teorem”: Nogomet je najuzbudljiviji sport!

Na kraju, kao i uvijek, evo mojih vjerojatnosti za predstojeću utakmicu. Kombinacijom metoda iz prethodnih članaka dobila sam vjerojatnost pobjede Hrvatske u regularnom dijelu 33% (strane kladionice i online-stranice navode vjerojatnosti u rasponu 25% do 28%, naše kladionice gotovo jednako kao moja malenkost – oko 31%) i vjerojatnost ponovnih produžetaka 28% (i ostali izvori su dobili slične, relativno visoke vjerojatnosti produžetaka – od 28% do 32%). Dakle, nažalost, produžeci su nam ponovno više nego izgledna opcija. Tko zna, možda će Hrvatska biti prva momčad u povijesti SP-a koja će dobiti ne samo 3, nego i sve 4 utakmice završnice na jedanaesterce. Za dobro naših igrača i živaca nadamo se ipak da tako neće biti.