MATEMATIČARKA doc. dr. sc. Franka Miriam Brueckler sa zagrebačkog PMF-a koja razbija dva vrlo uvriježena stereotipa – da žene ne vole matematiku i da ih ne zanima nogomet - u svojem se novom tekstu za Index osvrnula na neke zanimljive statistike prva dva kruga Svjetskog prvenstva u nogometu.

U prvom tekstu točno je predvidjela pobjedu Hrvatske protiv Nigerije s vjerojatnošću od 68 %. Također je pogodila većinu ishoda drugih do tada odigranih utakmica. Od njih 14 za dvije je predvidjela čak i točan broj golova. No ishod utakmice Hrvatska – Argentina za nju je, kao i za cijeli nogometni svijet, bio iznenađenje. Pozitivno, naravno.

Evo što je iščitala iz dosadašnjeg tijeka prvenstva. S naglaskom na "dosadašnjeg" jer se neke statistike u narednim utakmicama mogu i vjerojatno hoće promijeniti.

Pogled unatrag

U prijašnja dva članka opisali smo osnovne principe kako iz prethodnih rezultata (prvi članak) ili trenutnog rangiranja momčadi (drugi članak) procijeniti vjerojatnost pobjede neke momčadi ili pojedinih rezultata. Ponovno želimo istaknuti: Svrha nije bila dati bolje procjene od kladionica (jer to ovako "na prste" nije moguće – kladionice raspolažu i s puno više podataka i koriste kompliciranije metode čiji opis nije primjeren ovakvim člancima). Ta zar bi matematičko stvorenje koje ovo piše, kad bi to stvarno bila bolja metoda, upoznalo čitatelje s njima umjesto da profitira na kladionicama?! Kad bi postojala savršena metoda, niti bi bilo kladionica, niti bi itko gledao najuzbudljiviji sport na svijetu. A usput rečeno, matematički čak i vjerojatnost od 100 % ne mora značiti sigurnost.

Cilj je bio puno skromniji: čitatelje upoznati s osnovnim principima takvih izračuna. No još više, cilj je bio matematički potvrditi "osjećaj" da su u nogometu vjerojatnosti pobjede "antifavorita" u odnosu na favorita relativno visoke. Upravo to je ono što ovaj sport čini posebno uzbudljivim i o tome ćemo još kasnije nešto reći kad sve što napišemo rezimiramo. Zapravo, autoricu ovih članaka zabrinulo bi da je u svim slučajevima pobijedio onaj za kojeg je izračunata vjerojatnost bila veća od 50 %.

Kako je Hrvatska sad osigurala prolaz u osminu finala, subjektivna važnost vjerojatnosti rezultata utakmice s Islandom trenutno pada u drugi plan (i iz matematičkih razloga, i iz razloga što nam to trenutno nije tako napeto). Zato ćemo ovaj put nešto reći o "pogledu unatrag" na grupne faze kao cjeline. Pritom za ovogodišnji SP uzimamo u obzir podatke prva dva kruga, tj. 32 od ukupno 48 utakmica.

Više kaznenih udaraca

Prvo, kazneni udarci. Ne, to nije isto što i jedanaesterci! Jedanaesterci su ono što u utakmicama na ispadanje na kraju odlučuje o pobjedniku. Dragi sportski novinari koji to nerijetko krivo kažete, pročitajte službena pravila, npr. na ovoj stranici; hvala mom omiljenom konobaru Marianu koji mi je skrenuo pozornost na pravilnu terminologiju!
 
Iako je uspješnost izvođenja (postotak kaznenih udaraca koji je rezultirao golom) i ove godine unutar uobičajenog prosjeka u profesionalnom nogometu (trenutno 13/16 = 81,25 %, uobičajeno je 70 % do 80 %), broj im je – to ste zasigurno primijetili – poprilično narastao. Dok je u zadnja četiri svjetska prvenstva u prosjeku dosuđivan jedan kazneni udarac na (zaokruženo) 3 ili 4 utakmice, trenutno stanje ove godine je – kazneni udarac na svakoj drugoj utakmici, u prosjeku, razumije se. Dakle, dok je ukupan prosjek kaznenih udaraca po utakmici u zadnja četiri svjetska prvenstva 32,8 % (koeficijent 3,05), trenutno stanje ovog prvenstva je prosjek od 50 % (koeficijent 2). Bacite pogled na trenutne koeficijente na dosuđivanje kaznenog udarca u pojedinim utakmicama.

Manje neodlučenih utakmica

Drugo, neodlučeni ishodi. Stupčasti dijagram udjela neodlučenih ishoda u grupnim fazama od 1970. vidljivo pokazuje: Ovogodišnje prvenstvo je zasad znatno "odlučnije" od svih prethodnih!

Naravno, do kraja grupne faze zbog manjeg pritiska na momčadi koje su već osigurale prolaz, kao i one rezignirane kojima rezultat treće utakmice više ne može pomoći, vjerujemo da će se prosjek neodlučenih ishoda približiti uobičajenom od 20 % do 30 % (ukupni prosjek od 1970. do 2014. je 26,42 %).

Ova situacija ponajviše je dijelom posljedica jedne anomalije ovogodišnjeg prvenstva: Od 32 utakmice još nijedna nije završila rezultatom 0:0. Na SP 2014. bilo ih je 5 od 48, na SP 2010. 6 od 48, na SP 2006. 5 od 48, ali na SP 2002. samo 1 od 48. Tako da zasad situacija po pitanju 0:0 još i nije tako neobična, no svakako će to postati ako u zadnjem, trećem krugu nijedna utakmica ne završi 0:0.

Manje golova
 
S druge strane, dok se prosječni broj golova po utakmici grupne faze na zadnja 4 prvenstva kretao između 2 i 3, trenutno je stanje na SP 2018 samo 1,77 golova po utakmici. To nas dovodi do pogleda na ukupne brojeve golova po utakmicama. Na posljednja četiri svjetska prvenstva situacija je bila kako je ilustrirano dijagramom:

Primjećujete li išta? Nekima od vas prvo će upasti u oči već spomenuti deficit utakmica s 0 golova (dakle, rezultatom 0:0) na SP 2002. te neobično malo utakmica s 2 gola (2:0, 1:1) u odnosu na utakmice s 3 gola (3:0, 2:1) na SP 2014. No čak i ako vam je to prvo upalo u oči, znači da vam je podsvjesno upao u oči generalni trend (kako biste inače identificirali anomalije?): utakmica s 0 golova u pravilu je manje nego s 1, s 1 nego s 2, no (osim 2014.) s 2 gola bude više utakmica nego s 3 i onda brojevi dalje postepeno padaju. Takav trend se matematički opisuje Poissonovom razdiobom, koju smo spomenuli u prvom članku kao pozadinu svih izračuna ikakvih vjerojatnosti vezanih za rezultate utakmica u nogometu.

Kad bismo tako poučeni prethodnim prvenstvima pokušali usporediti stvarno stanje i Poissonovu procjenu za ovogodišnji SP, dobili bismo dijagram:

Što nam taj dijagram kaže? Ovo prvenstvo zasad ima još više čudnih osobina nego što se na prvi pogled čini – u odnosu na trenutni prosjek golova (1,77 po utakmici), imamo manjak utakmica s 0 golova i višak s 3 gola (to što je utakmica s 2 gola manje nego s 1 zasad ne odudara od modela – ove godine imamo manji prosjek golova nego na prethodnim prvenstvima). To se naravno do kraja grupne faze može uravnotežiti (još više utakmica s 1 i 2 gola, poneka s 0). S druge strane, možda će ovo prvenstvo na kraju potvrditi – Poissonova je razdioba dobar model, ali sve je to ipak vjerojatnost i statistika: trendovi se ukupno kroz puno prvenstava vide, ali pojedinačno je svašta moguće. Pa čak i da nam se poveća broj utakmica s puno golova.